sin 18 (deg)


nah sekarang gw mau tulis tentang sesuatu yang masih teringat sampe sekarang. mumpung masih belum hilang. maklum memory gw makin lama makin karatan karena ndak diasah lagi.

waktu smu, kelas dua cawu I (1995), gw dan kawan-kawan mengikuti lomba matematika babak penyisihan di SMU 70, gw dah lupa lomba dari universitas/institusi mana. tapi babak penyisihannya di SMU 70 bulungan.

Nah ada soal essai cuman satu buah yang sangat mengganjal, pertanyaannya adalah sin 18 = ?

wah perasaan kalo hapalan sin/cos/tan gw cuman 0,30,45,60,90 (dlm deg) aja.

trus pake rumus2 yang ada pun nggak bakalan ketemu, mau yang 1/2x, 2x, + atau – , kayaknya nggak bakalan ketemu.

yah akhirnya sampe waktu habiz, yah ndak ketemu juga.

besoknya pas masuk sekolah gw tanya ke guru matek gw, Pak Noorman. dia juga belum bs kasih jawaban langsung.

akhirnya setelah bbrp hari akhirnya dia dapat.

harus ada 2 persamaan yang dibuktikan dulu, yaitu:

sin 54 – sin 18 = 1/2

dan

sin 54.sin18 = 1/4

kalo kita dah bisa membuktikan ini maka dengan menggabungkan 2 buah persamaan ini maka kita bisa dapat menemukan berapa nilai sin 18, yaitu 1/4 (sqrt (5) – 1). ternyata hasilnya keren banget euy.

berikut ada lah pembuktiannya …

Pembuktian  Sin 54 – Sin 18 = ½

=> Sin 54 – Sin 18 = ½

=> Sin 54 – Sin 18 (2.Cos 18/2.Cos 18) = ½                              ; kali kan ruas kiri dengan 1 atau kita ubah jadi 2.Cos 18/2.Cos 18

=> (2.Sin 54.Cos 18 – 2.Sin 18. Cos18)/2.Cos 18 = ½                            ; ruas kiri kita sama kan penyebutnya

=> ((Sin 72 + Sin 36) – Sin 36)/2.Cos 18 = ½                            ;  2 Sin A Cos B = Sin (A+B) + Sin (A-B) dan 2 Sin A Cos A = Sin 2A

=> (Sin 72 + Sin 36 – Sin 36)/2.Cos 18 = ½                               ; buka kurungnya

=> Sin 72/2.Cos 18 = ½                   ; coret deh Sin 36 – Sin 36

=> Cos 18/2.Cos 18 = ½ ; ingat Sin 72 = Cos 18 karena Sin (90-A) = Cos A

=> ½ = ½ (terbukti  deh😉

  Pembuktian Sin 54.Sin18 = ¼

=> Sin 54.Sin18 = ¼

=> ½ (-(Cos 72 – Cos 36)) = ¼                      ; ingat rumus 2 Sin A Sin B = – (Cos (A+B) – Cos (A-B))

=> ½ (-Cos 72 + Cos 36) = ¼                          ; buka kurungnya  .. kalikan minusnya …

=> ½ (-Sin 18 + Sin 54) = ¼                            ; dah sama dengan pembuktian di atas nich

=> ½ (Sin 54 – Sin 18) = ¼                              ; yah jadi ½ lah ….

=> ½ (½) = ¼                       ; tinggal kaliin aja deh …

=> ¼ = ¼ (terbukti😉

   Pencarian nilai Sin 18:

Dengan menggunakan persamaan Sin 54 – Sin 18 = ½ kita dapat kan Sin 54 = ½ + Sin 18

Ini kita substitusikan ke Persamaan ke-2 yaitu

 Sin 54.Sin 18 = ¼

(1/2 + Sin 18).Sin 18 = ¼

 ½ Sin 18 + Sin2 18 = ¼

2.Sin 18 + 4 Sin2 18 = 1

 4 Sin2 18 + 2 Sin 18 – 1 = 0

Misal Sin 18 = A, maka persamaan menjadi

 4 A2 + 2 A – 1 = 0

A1,2 = (-2 ± Sqrt (22 – 4.4.(-1)))/2.4            ; masih ingat rumus persamaan kuadrat untuk mencari akar  X1,2 = (-b ± sqrt (D))/2.a                dimana sqrt itu adalah akar (square root)

A1,2 = (-2 ± Sqrt (4+16))/8)

A1,2 = (-2 ± Sqrt (20))/8

A1,2 = (-2 ± 2. Sqrt (5))/8

A1,2 = ¼ .(-1 ± Sqrt (5))

A1 = ¼ .(-1 + Sqrt (5)) = ¼ .( Sqrt (5)-1) dan A2 = ¼ .(-1 – Sqrt (5)) -> ini tidak mungkin karena nilai Sin 18 harus positif.

Jadi nilai Sin 18 adalah ¼ .( Sqrt (5)-1) …… selesai 🙂

trus di smu kami ada pengayaan (pelajaran tambahan setelah pulang, yah ttp nggak boleh pulang dulu, di absen sih), nah ada guru matek senior yang memang diakui kepintarannya (te ope be ge te lah pokoke), namanya pak syamsul rizal (kalo ndak salah loh), dia membuktikan sin 18 dengan lingkaran… ola la … mantep banget pembuktiannya….  tapi gw dah lupa sekarang gimana caranya. dan hasilnya sama kayak di atas.

memang kalo guru2 senior udah top banget ilmu2nya.

dia bahkan bisa perkalian 3-4 digit di kepalanya, gw aja baru bs dua digit.

yah itu sekilas tentang serpihan memory yang masih tersimpan rapi di otak gw.

gw berharap smu gw trus berprestasi kayak senior2 dulu.

kalo bs sampe ditakuti kalo ada lomba, terutama kalo lomba matek …😉

kalo jaman gw sih blum sampe di takuti, cuman di waspadai aja … ;p

2 piala bergilir lomba matek pernah ditangan tim kami loh …. huehehehe….

piala bergilir FMIPA IKIP (1995-1997) dan FMIPA UI (1996-1997) …

oh I love those days …..

tambahan:

ada juga penyelesaian lain nich buat sin 18 ….kelihatannya lebih simple …. klik link ini …  http://www.andrews.edu/~calkins/math/webtexts/numb18.htm#SIN18
dan ada juga rumus2 trigonometri yang lainnya ….

tambahan lagi (update Jan 2012):

Photo pas lomba Cepat Tepat Matematika di FMIPA UI (1996-1997)

Cepat Tepat Matematika - FMIPA UI 1996-1997

 

JUARA UMUM: SMUN 13 JKT

JUARA BEREGU:
1. SMUN 13 JKT
2. SMAK 1 JKT
3. SMUN 8 JKT
4. SMAK 3 JKT

JUARA PERORANGAN:
1. SMAK 1
2. SMUN 8 JKT
3. SMUN 8 JKT
4. SMUN 13 JKT

 

Bagi-bagi piala

We're the champion

sayangnya ndak ada yang punya mobil euy, akhirnya ada truk yang kebetulan mau ke priok kita mintai tolong numpang …  :) 🙂

benar-benar sebuah pengalaman berharga ……

7 Tanggapan to “sin 18 (deg)”

  1. aops Says:

    Gua punya cara lebih gampang, tanpa rumus-rumus trigonometri. Liat aja di blog gua: http://artofmathematics.wordpress.com/2007/12/18/15/

    Perhatiin solusi bagian segitiga. Bagi aja jadi dua, jadi segitiga 18-72-90, kan? Nah, dari sana keliatan kan?

    Ngomong-ngomong, gua punya forum mat nih: http://aom.fopim.com/

    Register dong…

  2. juare97 Says:

    pas gw di cek … emang bisa dapetin sin 18 dari blog di atas …

  3. Bela Ronaldoe Says:

    misal x = 18
    maka 5x = 90 kan!
    2x+3x = 90
    3x = 90 – 2x
    cos 3x = sin 2x
    4(cosx.cosx.cosx)-3cosx = 2.sinx.cosx
    4(cosx.cosx)-3 = 2 sin x
    4(1-sinx.sinx)-3 = 2 sin x
    karena sin 18 ialah kuadran 1, maka cara menemukan berapa sin x atau sin 18 ialah dengan rumus abc(+)!!
    4.sinx.sinx + 2.sinx – 1 = 0
    Rumus abc : ( -2 + (20)*1/2 )8

    sin 18 =( 5*1/2 – 1 ):4

  4. juare97 Says:

    yup .. seratus buat bela ronaldoe …
    ini lebih simple ….
    thanks

  5. agung hadi wibowo Says:

    thanks buat penyelesaiannya..mumet aku carinya..

  6. rilahi zahrah Says:

    Mas.. tukeran link yuk.. berhubung saya suka (tp tdk bisa) MTK… hehehe.. klo mau konfirmasi k blog saya ya… ^^


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: