nah sekarang gw mau tulis tentang sesuatu yang masih teringat sampe sekarang. mumpung masih belum hilang. maklum memory gw makin lama makin karatan karena ndak diasah lagi.
waktu smu, kelas dua cawu I (1995), gw dan kawan-kawan mengikuti lomba matematika babak penyisihan di SMU 70, gw dah lupa lomba dari universitas/institusi mana. tapi babak penyisihannya di SMU 70 bulungan.
Nah ada soal essai cuman satu buah yang sangat mengganjal, pertanyaannya adalah sin 18 = ?
wah perasaan kalo hapalan sin/cos/tan gw cuman 0,30,45,60,90 (dlm deg) aja.
trus pake rumus2 yang ada pun nggak bakalan ketemu, mau yang 1/2x, 2x, + atau – , kayaknya nggak bakalan ketemu.
yah akhirnya sampe waktu habiz, yah ndak ketemu juga.
besoknya pas masuk sekolah gw tanya ke guru matek gw, Pak Noorman. dia juga belum bs kasih jawaban langsung.
akhirnya setelah bbrp hari akhirnya dia dapat.
harus ada 2 persamaan yang dibuktikan dulu, yaitu:
sin 54 – sin 18 = 1/2
dan
sin 54.sin18 = 1/4
kalo kita dah bisa membuktikan ini maka dengan menggabungkan 2 buah persamaan ini maka kita bisa dapat menemukan berapa nilai sin 18, yaitu 1/4 (sqrt (5) – 1). ternyata hasilnya keren banget euy.
berikut ada lah pembuktiannya …
Pembuktian Sin 54 – Sin 18 = ½
=> Sin 54 – Sin 18 = ½
=> Sin 54 – Sin 18 (2.Cos 18/2.Cos 18) = ½ ; kali kan ruas kiri dengan 1 atau kita ubah jadi 2.Cos 18/2.Cos 18
=> (2.Sin 54.Cos 18 – 2.Sin 18. Cos18)/2.Cos 18 = ½ ; ruas kiri kita sama kan penyebutnya
=> ((Sin 72 + Sin 36) – Sin 36)/2.Cos 18 = ½ ; 2 Sin A Cos B = Sin (A+B) + Sin (A-B) dan 2 Sin A Cos A = Sin 2A
=> (Sin 72 + Sin 36 – Sin 36)/2.Cos 18 = ½ ; buka kurungnya
=> Sin 72/2.Cos 18 = ½ ; coret deh Sin 36 – Sin 36
=> Cos 18/2.Cos 18 = ½ ; ingat Sin 72 = Cos 18 karena Sin (90-A) = Cos A
=> ½ = ½ (terbukti deh 
Pembuktian Sin 54.Sin18 = ¼
=> Sin 54.Sin18 = ¼
=> ½ (-(Cos 72 – Cos 36)) = ¼ ; ingat rumus 2 Sin A Sin B = – (Cos (A+B) – Cos (A-B))
=> ½ (-Cos 72 + Cos 36) = ¼ ; buka kurungnya .. kalikan minusnya …
=> ½ (-Sin 18 + Sin 54) = ¼ ; dah sama dengan pembuktian di atas nich
=> ½ (Sin 54 – Sin 18) = ¼ ; yah jadi ½ lah ….
=> ½ (½) = ¼ ; tinggal kaliin aja deh …
=> ¼ = ¼ (terbukti
Pencarian nilai Sin 18:
Dengan menggunakan persamaan Sin 54 – Sin 18 = ½ kita dapat kan Sin 54 = ½ + Sin 18
Ini kita substitusikan ke Persamaan ke-2 yaitu
ð Sin 54.Sin 18 = ¼
ð (1/2 + Sin 18).Sin 18 = ¼
ð ½ Sin 18 + Sin2 18 = ¼
ð 2.Sin 18 + 4 Sin2 18 = 1
ð 4 Sin2 18 + 2 Sin 18 – 1 = 0
ð Misal Sin 18 = A, maka persamaan menjadi
ð 4 A2 + 2 A – 1 = 0
ð A1,2 = (-2 ± Sqrt (22 – 4.4.(-1)))/2.4 ; masih ingat rumus persamaan kuadrat untuk mencari akar X1,2 = (-b ± sqrt (D))/2.a dimana sqrt itu adalah akar (square root)
ð A1,2 = (-2 ± Sqrt (4+16))/8)
ð A1,2 = (-2 ± Sqrt (20))/8
ð A1,2 = (-2 ± 2. Sqrt (5))/8
ð A1,2 = ¼ .(-1 ± Sqrt (5))
ð A1 = ¼ .(-1 + Sqrt (5)) = ¼ .( Sqrt (5)-1) dan A2 = ¼ .(-1 – Sqrt (5)) -> ini tidak mungkin karena nilai Sin 18 harus positif.
ð Jadi nilai Sin 18 adalah ¼ .( Sqrt (5)-1) …… selesai J
trus di smu kami ada pengayaan (pelajaran tambahan setelah pulang, yah ttp nggak boleh pulang dulu, di absen sih), nah ada guru matek senior yang memang diakui kepintarannya (te ope be ge te lah pokoke), namanya pak syamsul rizal (kalo ndak salah loh), dia membuktikan sin 18 dengan lingkaran… ola la … mantep banget pembuktiannya…. tapi gw dah lupa sekarang gimana caranya. dan hasilnya sama kayak di atas.
memang kalo guru2 senior udah top banget ilmu2nya.
dia bahkan bisa perkalian 3-4 digit di kepalanya, gw aja baru bs dua digit.
yah itu sekilas tentang serpihan memory yang masih tersimpan rapi di otak gw.
gw berharap smu gw trus berprestasi kayak senior2 dulu.
kalo bs sampe ditakuti kalo ada lomba, terutama kalo lomba matek …
kalo jaman gw sih blum sampe di takuti, cuman di waspadai aja … ;p
2 piala bergilir lomba matek pernah ditangan tim kami loh …. huehehehe….
piala bergilir FMIPA IKIP (1995-1997) dan FMIPA UI (1996-1997) …
oh I love those days …..
tambahan: ada juga penyelesaian lain nich buat sin 18 ….kelihatannya lebih simple …. klik link ini … http://www.andrews.edu/~calkins/math/webtexts/numb18.htm#SIN18
dan ada juga rumus2 trigonometri yang lainnya ….
